アサインとは、サイン・コサイン・タンチェントとは全く関係のない言葉です。

アサインとは日本語にすると「割り当て」という言葉が一番近いと言えるでしょう。

音楽制作においては特にシンセサイザーに対して、音色をアサインするといった使い方がよくされます。

音色をアサインするということは音色のプリセットを読み込むということなので、本来は読み込むという意味のインポートなどが合ってる気もしますが、最近のプリセットは楽器そのものの名前であったり、インターフェイス自体が楽器のビジュアルをしていたりしますので、その楽器の音色を割り当てるという言い方をするのだと思います。

もっと具体的に言えば、ただ音色を読み込むだけではなく、例えばマルチティンバー音源では16種類の楽器の音色を選べますから、各パートごとに音色をアサインする、といった形で使うことができるでしょう。

またドラムマシーンにおいても同じことが言えるかと思います。これは編曲依頼時や楽曲アレンジの際には頻繁に使われる用語ですが、もちろん歌ってみたのレコーディングや、弾き語りやボーカルレコーディングの時にも出てくるので覚えておきたいワードですね。